Shmei seic Sunarthsiak c Anˆlushc

Shmei seic Sunarthsiak c Anˆlushc Apìstoloc Giannìpouloc 1 Panepisthmio Krhthc Tmhma Majhmatikwn Anoixh 2003 1 Tm. Majhmatik n, Panep. Ajhn n

2

Perieqìmena 1 Μετρικοί χώροι 5 1.1 Ορισμός................................................ 5 1.2 Παραδείγματα μετρικών χώρων.................................... 6 1.3 Τοπολογικές έννοιες......................................... 10 1.4 Ασκήσεις............................................... 13 2 Πλήρεις μετρικοί χώροι 21 2.1 Ακολουθίες Cauchy - πλήρεις μετρικοί χώροι............................ 21 2.2 Πλήρεις μετρικοί χώροι - παραδείγματα............................... 23 2.3 Πλήρωση μετρικού χώρου*...................................... 28 2.4 Το Θεώρημα του Baire........................................ 30 2.5 Ασκήσεις............................................... 36 3 Χώροι με νόρμα 45 3.1 Γραμμικοί χώροι........................................... 45 3.2 Χώροι με νόρμα - Χώροι Banach.................................. 47 3.3 Σύγκλιση σειρών........................................... 50 3.4 Ασκήσεις............................................... 52 4 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 59 4.1 Βασικές ιδιότητες........................................... 59 4.2 Συμπάγεια και πεπερασμένη διάσταση................................ 63 4.3 Ασκήσεις............................................... 65 5 Τελεστές και συναρτησοειδή 71 5.1 Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές.................................... 71 5.2 Γραμμικά συναρτησοειδή....................................... 75 5.3 Χώροι τελεστών - δυϊκοί χώροι.................................... 77 5.4 Ασκήσεις............................................... 81 6 Χώροι Hilbert 89 6.1 Χώροι Hilbert............................................. 89 3

4 6.2 Καθετότητα.............................................. 91 6.3 Ορθογώνιο συμπλήρωμα - προβολές................................. 93 6.4 Το Θεώρημα αναπαράστασης του Riesz............................... 96 6.5 Ορθοκανονικές βάσεις........................................ 97 6.6 Ασκήσεις............................................... 98 7 Το Θεώρημα Hahn - Banach 107 7.1 Το Λήμμα του Zorn.......................................... 107 7.2 Το Θεώρημα Hahn - Banach..................................... 109 7.3 Εφαρμογές............................................... 112 7.4 Διαχωριστικά θεωρήματα....................................... 117 7.5 Ασκήσεις............................................... 119 8 Βασικά θεωρήματα για χώρους Banach 125 8.1 Το θεώρημα ομοιόμορφου φράγματος................................ 125 8.2 Το θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης.................................. 131 8.3 Το θεώρημα κλειστού γραφήματος.................................. 133 8.4 Ασκήσεις............................................... 133 9 Το θεώρημα σταθερού σημείου 141 9.1 Συστολές - θεώρημα σταθερού σημείου............................... 141 9.2 Εφαρμογή στις διαφορικές εξισώσεις................................. 143 9.3 Εφαρμογή στις ολοκληρωτικές εξισώσεις.............................. 144 9.4 Ασκήσεις............................................... 145

Kefˆlaio 1 MetrikoÐ q roi 1.1 Orismìc Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μια απεικόνιση d : X X R λέγεται μετρική στο X (ή συνάρτηση απόστασης στο X) αν για κάθε x, y, z X ικανοποιούνται τα εξής: (Μ1) d(x, y) 0, (Μ2) d(x, y) = 0 αν και μόνο αν x = y, (Μ3) d(x, y) = d(y, x), (Μ4) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (τριγωνική ανισότητα). Το ζευγάρι (X, d) λέγεται μετρικός χώρος. Τα στοιχεία του X λέγονται σημεία του χώρου, και ο αριθμός d(x, y) απόσταση του x από το y. Οι (Μ1) (Μ4) είναι τα αξιώματα της μετρικής. Εστω (X, d) ένας μετρικός χώρος, και Y ένα μη κενό υποσύνολο του X. Θεωρούμε τον περιορισμό της d στο Y Y. Ορίζουμε δηλαδή d : Y Y R θέτοντας d(x, y) = d(x, y) για κάθε x, y Y. Εύκολα ελέγχουμε ότι ο (Y, d) είναι μετρικός χώρος: η d ικανοποιεί τα αξιώματα (Μ1) (Μ4). Λέμε ότι ο (Y, d) είναι ένας υπόχωρος του (X, d). Η d είναι η μετρική που επάγεται στο Y από την d. Δίνουμε τώρα κάποια απλά παραδείγματα μετρικών χώρων. Κάποια από αυτά είναι ειδικές περιπτώσεις γενικότερων παραδειγμάτων τα οποία θα εξετάσουμε αναλυτικά στην επόμενη παράγραφο. Σε κάθε περίπτωση επαληθεύστε ότι ικανοποιούνται τα αξιώματα της μετρικής. (α) Η πραγματική ευθεία. Θεωρούμε το σύνολο X = R των πραγματικών αριθμών, με μετρική την d(x, y) = x y. (β) Ο Ευκλείδειος χώρος. Θεωρούμε το σύνολο όλων των διατεταγμένων m-άδων x = (ξ 1,..., ξ m ) πραγματικών αριθμών, με την Ευκλείδεια μετρική: αν τα x = (ξ 1,..., ξ m ) και y = (η 1,..., η m ) ανήκουν στον R m, ορίζουμε d(x, y) = (ξ 1 η 1 ) 2 + + (ξ m η m ) 2. (γ) Ο χώρος ακολουθιών l. Ο χώρος X = l αποτελείται από όλες τις φραγμένες ακολουθίες πραγματικών αριθμών: η ακολουθία x = (ξ 1,..., ξ k,...) (για συντομία θα γράφουμε x = (ξ k )) ανήκει στον X αν υπάρχει M x > 0 (που εξαρτάται από την ακολουθία x) ώστε k N, ξ k M x. 5

6 Ισοδύναμα, x = (ξ k ) X sup{ ξ k : k N} < +. Ορίζουμε την απόσταση δύο φραγμένων ακολουθιών x = (ξ k ), y = (η k ) ως εξής: d(x, y) = sup{ ξ k η k : k N}. (δ) Ο χώρος συναρτήσεων C[a, b]. Εστω [a, b] ένα κλειστό διάστημα στο R. Ο χώρος X = C[a, b] αποτελείται από όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : [a, b] R (τα σημεία του χώρου είναι συναρτήσεις). Η απόσταση δύο σημείων του χώρου ορίζεται ως εξής: αν f, g : [a, b] R είναι συνεχείς συναρτήσεις, θέτουμε d(f, g) = max f(t) g(t) t [a,b] (το max ορίζεται καλά: η f g είναι συνεχής στο [a, b], άρα παίρνει μέγιστη τιμή). Ο μετρικός χώρος που ορίζεται έτσι, συμβολίζεται με C[a, b] και λέγεται χώρος των συνεχών συναρτήσεων στο [a, b]. (ε) Η διακριτή μετρική. Θεωρούμε τυχόν μη κενό σύνολο X, και για κάθε x, y X ορίζουμε 1, αν x y, d(x, y) = 0, αν x = y. Η d είναι η διακριτή μετρική στο σύνολο X. 1.2 ParadeÐgmata metrik n q rwn (α) Ο χώρος B(A) των φραγμένων συναρτήσεων στο A. Θεωρούμε τυχόν μη κενό σύνολο A. Μια συνάρτηση f : A R ανήκει στον B(A) αν και μόνο αν είναι φραγμένη (δηλαδή, αν sup{ f(a) : a A} < +.) Αν f, g B(A), ορίζουμε την απόστασή τους μέσω της d(f, g) = sup f(a) g(a). a A Παρατηρήστε πρώτα ότι η απόσταση είναι καλά ορισμένη: αφού f, g B(A), υπάρχουν M f, M g > 0 τέτοιοι ώστε: για κάθε a A, f(a) M f και g(a) M g. Επομένως, για κάθε a A έχουμε δηλαδή f(a) g(a) f(a) + g(a) M f + M g, 0 d(f, g) = sup f(a) g(a) M f + M g < +. a A Οι (Μ2) και (Μ3) ελέγχονται εύκολα: αν f, g B(A), τότε και d(f, g) = sup f(a) g(a) = sup g(a) f(a) = d(g, f), a A a A d(f, g) = 0 sup f(a) g(a) = 0 a A για κάθε a A, f(a) g(a) = 0 για κάθε a A, f(a) = g(a) f g. Για την τριγωνική ανισότητα: έστω f, g, h B(A). Για κάθε a A έχουμε f(a) g(a) = f(a) h(a) + h(a) g(a) f(a) h(a) + h(a) g(a) sup a A f(a) h(a) + sup h(a) g(a) a A = d(f, h) + d(h, g).

7 Επεται ότι d(f, g) = sup f(a) g(a) d(f, h) + d(h, g). a A (β) Οι χώροι ακολουθιών l p. Εστω 1 p <. Τα σημεία του χώρου l p είναι οι ακολουθίες πραγματικών αριθμών x = (ξ k ) για τις οποίες ξ k p < +. Ορισμός (συζυγείς εκθέτες). Εστω 1 < p < +. Ο συζυγής εκθέτης q του p ορίζεται μέσω της ( ) 1 p + 1 q = 1. Δηλαδή, q = p/(p 1). Ο q είναι κι αυτός μεγαλύτερος από 1, και λόγω συμμετρίας της ( ) ο p είναι με τη σειρά του ο συζυγής εκθέτης του q. Λέμε λοιπόν ότι οι p και q είναι συζυγείς εκθέτες. Παρατηρούμε ότι, αν p και q είναι συζυγείς εκθέτες, p + q = pq (p 1)(q 1) = 1. Αν λοιπόν ορίσουμε f(t) = t p 1, t [0, + ), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα, και ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση g της f. Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι g(s) = s q 1, s [0, + ). Πράγματι, g(f(t)) = [f(t)] q 1 = t (p 1)(q 1) = t. Πριν ορίσουμε την απόσταση δύο σημείων του l p, θα δείξουμε δύο κλασικές ανισότητες: την ανισότητα του Hölder και την ανισότητα του Minkowski. Βασικό ρόλο στην απόδειξή τους παίζει η ανισότητα του Young. Ανισότητα του Young. Εστω f : [0, + ) [0, + ) γνησίως αύξουσα, συνεχής και επί συνάρτηση, με f(0) = 0. Αν g είναι η αντίστροφη συνάρτηση της f, τότε για κάθε a, b > 0 ισχύει ab a 0 f(t)dt + b 0 g(s)ds. Απόδειξη: Δείτε το Σχ. 1.1. s = f(t) s = f(t) b E 2 b E 2 E 1 E 1 a a b > f(a) b < f(a) Sq ma 1.1: Oi peript seic b > f(a) kai b < f(a)

8 Το γινόμενο ab είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου. Σε κάθε περίπτωση, ab E 1 + E 2 = Ισότητα ισχύει αν και μόνο αν b = f(a). a f(t)dt + b 0 0 g(s)ds. Εφαρμογή: Παίρνουμε f(t) = t p 1, p > 1. Η αντίστροφη της f είναι η g(s) = s q 1, όπου q είναι ο συζυγής εκθέτης του p. Από την ανισότητα του Young, για κάθε a, b > 0, δηλαδή ab a t p 1 dt + b 0 0 s q 1 ds, (1) ab ap p + bq q, a, b 0. Μια άλλη απόδειξη της ανισότητας (1) μπορεί να δοθεί με τη βοήθεια των κυρτών και κοίλων συναρτήσεων. Εστω C ένα διάστημα στο R. Μια συνάρτηση f : C R λέγεται κυρτή αν (2) f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) για κάθε x, y C και t (0, 1). Η f λέγεται γνησίως κυρτή αν οποτεδήποτε έχουμε ισότητα στην (1) έπεται ότι x = y. Η f : C R λέγεται κοίλη (αντίστοιχα, γνησίως κοίλη) αν η f είναι κυρτή (αντίστοιχα, γνησίως κυρτή). Η συνάρτηση f : (0, + ) R με f(x) = ln x είναι γνησίως κοίλη (έχει αρνητική δεύτερη παράγωγο). Αν λοιπόν x, y > 0 και t, s (0, 1) με t + s = 1, τότε (3) ln(tx + sy) t ln x + s ln y = ln(x t y s ). Επεται ότι (4) x t y s tx + sy, με ισότητα μόνο αν x = y. Εστω τώρα a, b > 0 και p, q συζυγείς εκθέτες. Εφαρμόζοντας την (4) με x = a p, y = b q και t = 1/p, s = 1/q, παίρνουμε την (1). Ισότητα ισχύει μόνο αν a p = b q. Ανισότητα του Hölder (1889) Εστω p, q > 1 συζυγείς εκθέτες. Αν x = (ξ k ) l p, y = (η k ) l q, τότε η z = (ξ k η k ) l 1, και ( ) 1/p ( ) 1/q ξ k η k ξ k p η k q. Απόδειξη: Κάνουμε πρώτα την επιπλέον υπόθεση ότι Για κάθε k = 1, 2,..., από την (1) έχουμε Προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε ξ k p = η k q = 1. ξ k η k = ξ k η k ξ k p ξ k η k 1 ξ k p + 1 p q p = 1 p + 1 q = 1, + η k q. q η k q

9 δηλαδή την ανισότητα του Hölder σ αυτή την ειδική περίπτωση (γιατί;). Για τη γενική περίπτωση: μπορούμε να υποθέσουμε ότι x, y 0 (γιατί;), οπότε ορίζουμε ξ k = ξ k ( ξ k p ) 1/p, η k = η k ( η k q ) 1/q, k N. Από τον τρόπο ορισμού τους, οι (ξ k ), (η k ) ικανοποιούν τις ξ k p ξ k p = ξ k = 1 = η k q p η k = η k q. q Από το πρώτο βήμα της απόδειξης (το εφαρμόζουμε για τις (ξ k ), (η k )), βλέπουμε ότι ξ k η k δηλαδή ξ kη k = ( ξ k p ) 1/p ( η k q ) 1/q 1, ( ) 1/p ( ) 1/q ξ k η k ξ k p η k q. Παρατήρηση: Οταν p = 2, ο συζυγής εκθέτης του p είναι ο q = 2, και η ανισότητα του Hölder με p = q = 2 δεν είναι άλλη από την ανισότητα Cauchy-Schwarz: Αν x = (ξ k ), y = (η k ) l 2, τότε ξ k η k ξ k 2 η k 2. Ανισότητα του Minkowski (1896) Εστω p 1. Αν x = (ξ k ) l p και y = (η k ) l p, τότε η z = (ξ k + η k ) l p και ( ) 1/p ( ) 1/p ( ) 1/p ξ k + η k p ξ k p + η k p. Απόδειξη: Αν p = 1, η ανισότητα παίρνει τη μορφή ξ k + η k ξ k + η k η οποία επαληθεύεται εύκολα αφού ξ k + η k ξ k + η k για κάθε k N. Εστω ότι p > 1. Για κάθε n N έχουμε: n n ξ k + η k p = ξ k + η k p 1 ξ k + η k = n ξ k + η k p 1 ( ξ k + η k ) n ξ k + η k p 1 ξ k + n ξ k + η k p 1 η k. Για καθένα από τα δύο αθροίσματα εφαρμόζουμε την ανισότητα του Hölder με εκθέτες p, q (τα αθροίσματα έχουν n όρους, αλλά η ανισότητα ισχύει και σ αυτή την περίπτωση - γιατί;). Τότε, n S n := ξ k + η k p ( n ) 1/q ( n ) 1/p ( n ) 1/p ξ k + η k q(p 1) ξ k p + η k p,

10 και επειδή q(p 1) = qp p = p, παίρνουμε ( n ) 1/p ( n ) 1/p S n Sn 1/q ξ k p + η k p. Αν S n > 0, διαιρούμε με Sn 1/q, και αφού 1 1 q = 1 p, έχουμε ( n ) 1/p ξ k + η k p ( n ) 1/p ( n ) 1/p ξ k p + η k p ( ) 1/p ( ) 1/p ξ k p + η k p. (Αν S n = 0, τότε αυτή η τελευταία ανισότητα ισχύει ούτως ή άλλως.) Αφού το δεξιό μέλος είναι πεπερασμένο, το αριστερό παραμένει φραγμένο ανεξάρτητα από το n. Αφήνοντας το n να πάει στο άπειρο, συμπεραίνουμε ότι η z = (ξ k + η k ) l p και ( ) 1/p ( ) 1/p ( ) 1/q ξ k + η k p ξ k p + η k q. Μπορούμε τώρα να ορίσουμε την εξής μετρική d p στον l p, p 1: αν x = (ξ k ) l p και y = (η k ) l p, ορίζουμε ( ) 1/p d p (x, y) = ξ k η k p. Τα αξιώματα (Μ1) (Μ3) της μετρικής ελέγχονται άμεσα. Η τριγωνική ανισότητα είναι συνέπεια της ανισότητας του Minkowski: Πράγματι, αν x = (ξ k ), y = (η k ), z = (ζ k ) l p, τότε d p (x, y) = = ( ) 1/p ξ k η k p ( ) 1/p (ξ k ζ k ) + (ζ k η k ) p ( ) 1/p ( ) 1/p ξ k ζ k p + ζ k η k p = d p (x, z) + d p (z, y). Άρα, ο l p με τη μετρική d p, είναι μετρικός χώρος. 1.3 Topologikèc ènnoiec (α) Εστω (X, d) μετρικός χώρος. Για κάθε x 0 X και r > 0, 1. Η ανοικτή μπάλα με κέντρο x 0 και ακτίνα r είναι το σύνολο D(x 0, r) = {y X : d(y, x 0 ) < r}. 2. Η κλειστή μπάλα με κέντρο x 0 και ακτίνα r είναι το σύνολο B(x 0, r) = {y X : d(y, x 0 ) r}.

11 3. Η σφαίρα με κέντρο x 0 και ακτίνα r είναι το σύνολο S(x 0, r) = {y X : d(y, x 0 ) = r}. Παρατηρησεις (i) Για κάθε x 0 X και r > 0 ισχύει x 0 D(x 0, r) B(x 0, r). (ii) Μπορεί όμως να συμβεί S(x 0, r) = (παράδειγμα: διακριτή μετρική). (iii) S(x 0, r) = B(x 0, r)\d(x 0, r). Σε αυτό το μάθημα οι μετρικές θα είναι (ως ένα βαθμό) φυσιολογικές - για παράδειγμα, οι σφαίρες θα είναι πάντα μη κενές. (β) Εστω x 0 X και ε > 0. Η D(x 0, ε) λέγεται ε-περιοχή του x 0. Αν x 0 A X, το x 0 λέγεται εσωτερικό σημείο του A αν υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε D(x 0, ε) A. Ενα υποσύνολο A του X λέγεται ανοικτό αν κάθε σημείο του A είναι εσωτερικό του σημείο. Για τυχόν A X, το εσωτερικό A του A είναι το σύνολο όλων των εσωτερικών σημείων του A. Το A είναι το μεγαλύτερο ανοικτό υποσύνολο του A. Το A είναι ανοικτό αν και μόνο αν A = A. (γ) Μια ακολουθία (x n ) σημείων του (X, d) συγκλίνει στο x X (γράφουμε x n x) αν lim n d(x n, x) = 0. Ισοδύναμα, αν για κάθε ε > 0 υπάρχει n 0 = n 0 (ε) N με την ιδιότητα: για κάθε n n 0, d(x n, x) < ε. Απλές συνέπειες του ορισμού είναι οι παρακάτω. (i) Αν x n x και x n y, τότε x = y (μοναδικότητα του ορίου). (ii) Αν x n x, τότε η (x n ) είναι φραγμένη (δηλαδή, υπάρχει κλειστή μπάλα στον X που περιέχει όλα τα x n ). (iii) Αν x n x και y n y στον X, τότε d(x n, y n ) d(x, y). (δ) Ενα υποσύνολο K του X λέγεται κλειστό αν: για κάθε (x n ) στο K με x n x X, έπεται ότι x K. Το K είναι κλειστό αν και μόνο αν το X \ K είναι ανοικτό. Το x 0 X λέγεται σημείο επαφής του K αν για κάθε ε > 0 ισχύει K D(x 0, ε). Το σύνολο των σημείων επαφής του K συμβολίζεται με K, ονομάζεται κλειστή θήκη (ή κλειστότητα) του K, και είναι το μικρότερο κλειστό σύνολο που περιέχει το K. Το K είναι κλειστό αν και μόνο αν K = K. (ε) Εστω (X, d) και (Y, d) δύο μετρικοί χώροι. Λέμε ότι μια απεικόνιση T : X Y είναι συνεχής στο x 0 X αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 με την ιδιότητα: αν d(x, x 0 ) < δ τότε d(t (x), T (x 0 )) < ε. Η T είναι συνεχής αν είναι συνεχής σε κάθε x 0 X. Ισχύουν τα εξής: (i) Η T είναι συνεχής στο x 0 αν x n x 0 ως προς την d, τότε T (x n ) T (x 0 ) ως προς την d. (ii) Η T είναι συνεχής για κάθε A Y ανοικτό, το T 1 (A) είναι ανοικτό υποσύνολο του X. Σημείωση: Βεβαιωθείτε ότι όλα τα παραπάνω σάς είναι γνωστά, μαζί με τις αποδείξεις τους (έχουν γίνει στο μάθημα «Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ»). Ορισμός Εστω (X, d) μετρικός χώρος. Ενα υποσύνολο M του X λέγεται πυκνό στον X αν M = X. (Δηλαδή, αν για κάθε x X υπάρχει ακολουθία (x n ) στο M με x n x. Ισοδύναμα, αν για κάθε x X και κάθε ε > 0 ισχύει D(x, ε) M.) Ο (X, d) λέγεται διαχωρίσιμος αν υπάρχει αριθμήσιμο M X που είναι πυκνό στον X. Παραδειγματα

12 (α) Θεωρούμε την πραγματική ευθεία R (με τη μετρική d(x, y) = x y.) Ο R είναι διαχωρίσιμος: το σύνολο Q των ρητών είναι αριθμήσιμο, και Q = R (αν x R και ε > 0, τότε υπάρχει ρητός στο (x ε, x + ε), δηλαδή D(x, ε) Q.) (β) Ο χώρος ακολουθιών l δεν είναι διαχωρίσιμος. Για να το αποδείξουμε, θα βασιστούμε στην ακόλουθη γενική παρατήρηση: Παρατήρηση: Εστω (X, d) μετρικός χώρος. Ας υποθέσουμε ότι μπορούμε να βρούμε x i, i I στον X (I ένα σύνολο δεικτών) και λ > 0 που ικανοποιούν την i, j I i j = d(x i, x j ) λ. Τότε, κάθε πυκνό M X έχει τουλάχιστον τόσα στοιχεία όσα το I. Απόδειξη: Οι μπάλες D(x i, λ/2), i I είναι ξένες. Αν το M είναι πυκνό, σε κάθε D(x i, λ/2) υπάρχει κάποιο m i M. Αν i j, τότε m i m j αφού D(x i, λ/2) D(x j, λ/2) =. Άρα, η f : I M με f(i) = m i είναι ένα προς ένα. Δηλαδή, το M έχει τουλάχιστον τόσα στοιχεία όσα το I. Στο παράδειγμα του l, θεωρούμε το σύνολο A = {x = (ξ k ) : ξ k {0, 1}, k N}. Κάθε ακολουθία με όρους 0 ή 1 είναι φραγμένη, άρα A l. Παρατηρούμε ότι αν x = (ξ k ), y = (η k ) A και x y, τότε d(x, y) = 1 (γιατί;). Σύμφωνα με την παρατήρηση, αν M είναι πυκνό υποσύνολο του l, τότε το M έχει τουλάχιστον τόσα στοιχεία όσα το A. Ομως, το διαγώνιο επιχείρημα του Cantor δείχνει ότι το A είναι υπεραριθμήσιμο. Επεται ότι κάθε πυκνό υποσύνολο του l είναι υπεραριθμήσιμο, δηλαδή ο l δεν είναι διαχωρίσιμος. (γ) Ο χώρος ακολουθιών l p, 1 p < είναι διαχωρίσιμος. Θεωρούμε το σύνολο M = {y = (η 1,..., η n, 0, 0,...) : n N, η k Q}. Το M είναι αριθμήσιμο (γιατί;) Θα δείξουμε ότι M = l p. Εστω x = (ξ k ) l p και ε > 0. Ψάχνουμε y M τέτοιο ώστε d p (x, y) < ε. Παρατηρούμε τα εξής: (i) Η σειρά k ξ k p συγκλίνει, άρα υπάρχει n N τέτοιο ώστε k=n+1 ξ k p < εp 2. (ii) Για κάθε k = 1,..., n μπορούμε να βρούμε ρητό οσοδήποτε κοντά στον ξ k. Μπορούμε λοιπόν να βρούμε ρητό η k, k = 1,..., n που να ικανοποιεί την Προσθέτοντας, έχουμε ξ k η k p < εp, k = 1,..., n. 2n n Ορίζουμε y = (η 1,..., η n, 0, 0,...). Τότε, y M και ξ k η k p < εp 2. d p (x, y) = < ( n ξ k η k p + ( ε p 2 + εp 2 ) 1/p = ε. k=n+1 ξ k p ) 1/p Αφού τα x l p και ε > 0 ήταν τυχόντα, ισχύει M = l p (άρα, ο l p είναι διαχωρίσιμος).

13 1.4 Ask seic 1. Εστω X το σύνολο όλων των διατεταγμένων m-άδων από 0 ή 1. Δηλαδή, X = {0, 1} m. Ορίζουμε d(x, y) = το πλήθος των συντεταγμένων στις οποίες διαφέρουν οι m-άδες x και y. Δείξτε ότι η d είναι μετρική. 2. Θεωρούμε τον C[0, π] με απόσταση την d(f, g) = max t [0,π] f(t) g(t). Αν x(t) = sin t και y(t) = cos t, βρείτε τον μικρότερο r > 0 για τον οποίο y B(x, r). 3. Δείξτε ότι ένα μη κενό A (X, d) είναι ανοικτό αν και μόνο αν είναι ένωση από ανοικτές μπάλες. 4. Το x 0 λέγεται σημείο συσσώρευσης του A (X, d) αν για κάθε ε > 0 μπορούμε να βρούμε y A, y x 0 τέτοιο ώστε d(x 0, y) < ε. Δείξτε ότι το x 0 είναι σημείο συσσώρευσης του A αν και μόνο αν για κάθε ε > 0 η D(x 0, ε) περιέχει άπειρα σημεία του A. 5. Αν A, B (X, d), δείξτε ότι A B = A B και A B A B. 6. Εστω (X, d) μετρικός χώρος, και A X. Η διάμετρος diam(a) του A ορίζεται από την diam(a) = sup{d(x, y) : x, y A}. Δείξτε ότι: (α) A B = diam(a) diam(b). (β) diam(a) = 0 το A είναι μονοσύνολο. 7. Εστω A, B μη κενά υποσύνολα του μετρικού χώρου (X, d). Η απόσταση d(a, B) των A, B ορίζεται από την d(a, B) = inf{d(a, b) : a A, b B}. Δείξτε ότι A B = d(a, B) = 0. Δώστε παράδειγμα κλειστών και ξένων υποσυνόλων A, B του R 2 με d(a, B) = 0. 8. Εστω B μη κενό υποσύνολο του μετρικού χώρου (X, d). Η απόσταση του x X από το B ορίζεται από την d(x, B) = inf{d(x, b) : b B}. Δείξτε ότι για κάθε x, y X ισχύει d(x, B) d(y, B) d(x, y). 9. Αν A (X, d), δείξτε ότι x A αν και μόνο αν d(x, A) = 0. Δείξτε ότι αν A είναι κλειστό υποσύνολο του X και x / A, τότε d(x, A) > 0. 10. Εστω (X, d) μετρικός χώρος, και A, B ξένα, κλειστά υποσύνολα του X. Δείξτε ότι υπάρχει f : X [0, 1] συνεχής συνάρτηση, με την ιδιότητα: f(a) = 0 για κάθε a A, και f(b) = 1 για κάθε b B. 11. Θεωρούμε το χώρο s όλων των ακολουθιών πραγματικών αριθμών. Εστω (m k ) ακολουθία θετικών αριθμών, με k m k < +. Ορίζουμε απόσταση d στον s ως εξής: αν x = (ξ k ), y = (η k ) s, θέτουμε d(x, y) = m k ξ k η k 1 + ξ k η k. Δείξτε ότι ο (s, d) είναι μετρικός χώρος, και υπολογίστε τη διάμετρό του. 12. Δείξτε ότι για κάθε ξ 1,..., ξ n R, ( ξ 1 + + ξ n ) 2 n ( ξ 1 2 + + ξ n 2). 13. (α) Βρείτε μια ακολουθία x = (ξ k ) που έχει όριο το 0, αλλά x / l p για κάθε p 1. (β) Δείξτε ότι αν x l p για κάποιο p 1, τότε ξ k 0. 14. Βρείτε x = (ξ k ) τέτοια ώστε x / l 1 αλλά x l p για κάθε p > 1. 15. Θεωρούμε το χώρο B[a, b] όλων των φραγμένων f : [a, b] R με απόσταση την d(f, g) = sup t [a,b] f(t) g(t). Δείξτε ότι ο B[a, b] δεν είναι διαχωρίσιμος.

14 16. Θεωρούμε το χώρο C[a, b] όλων των συνεχών f : [a, b] R με απόσταση την d(f, g) = max t [a,b] f(t) g(t). Δείξτε ότι είναι διαχωρίσιμος. 17. Δείξτε ότι η εικόνα ανοικτού συνόλου μέσω συνεχούς απεικόνισης μεταξύ μετρικών χώρων δεν είναι αναγκαστικά ανοικτό σύνολο. 18. Εστω f, g : [a, b] R συνεχείς συναρτήσεις, και έστω p, q συζυγείς εκθέτες. Δείξτε την ανισότητα του Hölder b f(t)g(t)dt ( ) 1/p ( b ) 1/q b f(t) p dt g(t) q. Δείξτε την ανισότητα του Minkowski a a ( 1/p ( b 1/p ( b 1/p b f(t) + g(t) dt) p f(t) dt) p + g(t) dt) p. a a a a 19. Εστω f : [a, b] R συνεχής, και 0 < q < p < r < +. Δείξτε ότι b a ( ) r p ( b r q b f(t) p dt f(t) q dt f(t) r dt a a ) p q r q.

15 Υποδείξεις - απαντήσεις 1. Parathr ste ìti an x = (ξ 1,..., ξ m) kai y = (η 1,..., η m) X, tìte: an ξ k = η k èqoume ξ k η k = 0, en an ξ k η k èqoume ξ k η k = 1. 'Ara, to pl joc twn suntetagmènwn stic opoðec diafèroun oi x kai y isoôtai me d(x, y) = T ra mporoôme eôkola na elègxoume ìti h d eðnai metrik : mx ξ k η k. (a) d(x, y) = P m ξ k η k 0, me isìthta mìno an ξ k η k = 0 gia kˆje k, dhlad an ξ k = η k gia kˆje k, dhlad an x = y. (b) d(y, x) = P m η k ξ k = P m ξ k η k = d(x, y). (g) An x = (ξ k ), y = (η k ) kai z = (ζ k ) X, tìte d(x, y) = mx mx ξ k η k = (ξ k ζ k ) + (ζ k η k ) mx mx ξ k ζ k + ζ k η k = d(x, z) + d(z, y). 2. 'Eqoume y B(x, r) an kai mìno an d(x, y) r. O mikrìteroc r gia to opoðo isqôei aut h anisìthta eðnai h apìstash twn x kai y: r d(x, y) = max sin t cos t = max (sin t cos t)2 0 t π 0 t π = r max (1 sin(2t)) = 2. 0 t π 3. 'Estw ìti A = i ID(x i, r i) ìpou x i X kai r i > 0. An a A, tìte upˆrqei i 0 I gia to opoðo a D(x i0, r i0 ). Jètoume r(a) = r i0 d(a, x i0 ) > 0. Apì thn trigwnik anisìthta, D(a, r(a)) D(x i0, r i0 ) A. To tuqìn a A eðnai eswterikì shmeðo tou A, ˆra to A eðnai anoiktì. 'Estw A anoiktì uposônolo tou X. Gia kˆje a A mporoôme na broôme r(a) > 0 tètoio ste a D(a, r(a)) A. Tìte, A = [ D(a, r(a)). a A 4. Upojètoume pr ta ìti to x 0 eðnai shmeðo suss reushc tou A. 'Estw ìti upˆrqei ε > 0 tètoio ste to D(x 0, ε) A na eðnai peperasmèno sônolo. Dhlad, D(x 0, ε) A = {x 0} {y 1,..., y N } gia kˆpoia y i x 0 (toulˆqiston èna tètoio y i upˆrqei, apì ton orismì tou shmeðou suss reushc). Jètoume ε 1 = min{d(x 0, y 1),..., d(x 0, y N )} > 0. Tìte, D(x 0, ε 1) A = {x 0}, to opoðo eðnai ˆtopo, pˆli apì ton orismì tou shmeðou suss reushc. AntÐstrofa: upojètoume ìti kˆje perioq tou A perièqei ˆpeira shmeða tou A. Tìte, gia kˆje ε > 0, to D(x 0, ε) A eðnai ˆpeiro sônolo, ˆra èqei stoiqeðo diaforetikì apì to x 0. 'Epetai ìti to x 0 eðnai shmeðo suss reushc tou A. 5. (a) AfoÔ A, B A B, èqoume A, B A B. 'Ara, A B A B.

16 AntÐstrofa, èstw x A B. Upˆrqoun x n A B me x n x. QwrÐc periorismì thc genikìthtac mporoôme na upojèsoume ìti ˆpeiroi ìroi thc (x n) brðskontai sto A. Dhlad, upˆrqoun k 1 < k 2 <... < k n <... tètoioi ste x kn A. AfoÔ x n x, èpetai ìti x kn x. AfoÔ x kn A, sumperaðnoume ìti x A. An ˆpeiroi ìroi thc (x n) brðskontai sto B, me ton Ðdio trìpo blèpoume ìti x B. Se kˆje perðptwsh x A B, opìte A B A B. (b) AfoÔ A B A, B, èqoume A B A, B. 'Ara, A B A B. 6. (a) An A B, tìte {d(x, y) : x, y A} {d(x, y) : x, y B}. 'Ara, diam(a) = sup{d(x, y) : x, y A} sup{d(x, y) : x, y B} = diam(b). (b) An A = {a}, tìte diam(a) = sup{d(x, y) : x, y A} = sup{d(a, a)} = sup{0} = 0. An pˆli upˆrqoun a 1 a 2 sto A, tìte diam(a) d(a 1, a 2) > 0. 'Ara, diam(a) = 0 to A eðnai monosônolo. 7. (a) 'Estw w A B. Tìte, Dhlad, d(a, B) = 0. 0 d(a, B) = inf{d(a, b) : a A, b B} d(w, w) = 0. (b) OrÐzoume ta uposônola A = {(n, 0) : n N} kai B = {(k, 1 k ) : k N} tou EukleÐdeiou q rou R2. Tìte A B =, ta A, B eðnai kleistˆ giatð ìla ta shmeða touc eðnai memonwmèna, kai gia kˆje n N, ˆra d(a, B) = 0. d(a, B) d((n, 0), (n, 1/n)) = 1/n 8. 'Estw x, y X. Gia kˆje b B èqoume d(x, b) d(x, y) + d(y, b). AfoÔ d(x, B) d(x, b), sumperaðnoume ìti d(x, B) d(x, y) + d(y, b) = d(x, B) d(x, y) d(y, b). AfoÔ autì isqôei gia kˆje b B, paðrnoume d(x, B) d(x, y) inf{d(y, b) : b B} = d(y, B), dhlad d(x, B) d(y, B) d(x, y). 'Omoia blèpoume ìti d(y, B) d(x, B) d(x, y). 'Ara, d(x, B) d(y, B) d(x, y). 'Epetai ìti h d(, B) : X R eðnai omoiìmorfa suneq c. 9. (a) 'Estw x A. Upˆrqei akoloujða (x n) sto A me x n x. Tìte, 0 d(x, A) d(x, x n) 0. 'Ara, d(x, A) = 0. AntÐstrofa, an d(x, A) = 0, tìte gia kˆje n N mporoôme na broôme x n A me d(x, x n) < 1/n, opìte x n x kai autì shmaðnei ìti x A. (b) AfoÔ x / A kai to A eðnai kleistì, upˆrqei r > 0 tètoioc ste D(x, r) A =. Autì shmaðnei ìti d(x, a) r gia kˆje a A, ˆra d(x, A) r > 0. 10. Gia kˆje x X èqoume d(x, A) + d(x, B) > 0. An to ˆjroisma autì tan Ðso me mhdèn, ja eðqame d(x, A) = d(x, B) = 0 kai afoô ta A, B eðnai kleistˆ, apì thn prohgoômenh ˆskhsh ja eðqame x A B, to opoðo eðnai ˆtopo giatð ta A, B èqoun upotejeð xèna. OrÐzoume f : X R me f(x) = d(x, A) d(x, A) + d(x, B).

O paronomast c den mhdenðzetai, ˆra h f eðnai kalˆ orismènh. EpÐshc, h f eðnai suneq c giatð oi d(, A) kai d(, B) eðnai suneqeðc sunart seic apì thn 'Askhsh 8. AfoÔ d(x, A), d(x, B) 0, eðnai fanerì ìti 0 f(x) 1 gia kˆje x X. 17 Tèloc, an a A tìte en an b B tìte f(b) = f(a) = d(a, A) d(a, A) + d(a, B) = 0, d(b, A) d(b, A) = d(b, A) + d(b, B) d(b, A) = 1. 11. H d eðnai kalˆ orismènh, giatð an x = (ξ k ) kai y = (η k ) s, tìte d(x, y) = X ξ k η k m k 1 + ξ k η k X m k < +. Autì deðqnei tautìqrona ìti h diˆmetroc tou (s, d) eðnai diam(s) P m k. Apì tic idiìthtec thc metrik c, h mình pou qreiˆzetai èlegqo eðnai h trigwnik anisìthta: an x = (ξ k ), y = (η k ) t kai z = (ζ k ) s, tìte gia kˆje k N, qrhsimopoi ntac to gegonìc ìti h eðnai aôxousa sto [0, + ) kai thn 1+t ξ k η k ξ k ζ k + ζ k η k, paðrnoume ξ k η k 1 + ξ k η k = ξ k ζ k + ζ k η k 1 + ξ k ζ k + ζ k η k ξ k ζ k 1 + ξ k ζ k + ζ k η k + ζ k η k 1 + ξ k ζ k + ζ k η k ξ k ζ k 1 + ξ k ζ k + ζ k η k 1 + ζ k η k. Prosjètontac wc proc k afoô pollaplasiˆsoume me touc jetikoôc m k, èqoume d(x, y) = X m k ξ k η k 1 + ξ k η k X ξ k ζ k m k 1 + ξ k ζ k + X ζ k η k m k 1 + ζ k η k = d(x, z) + d(z, y). Tèloc, an pˆroume x M = (M,..., M,...) ìpou M > 0, kai y = (0,..., 0,...), èqoume kai afoô diam(s) d(x M, y) = X m k M 1 + M = M 1 + M M 1 ìtan M, paðrnoume 1+M «M X diam(s) sup d(x M, y) = sup m k = M>0 M>0 1 + M Dhlad, diam(s) = P m k. X m k, X m k. 12. Apì thn anisìthta Cauchy-Schwarz, ξ 1 + + ξ n = 1 ξ 1 + + 1 ξ n `1 2 + + 1 2 1/2 ` ξ1 2 + + ξ n 2 1/2 = n ` ξ 1 2 + + ξ n 2 1/2. Uy nontac sto tetrˆgwno paðrnoume to zhtoômeno. 13. (a) PaÐrnoume ξ k = 1 ln(k+1), k N. Tìte, ξ k 0 ìtan k, ìmwc to krit rio sumpôknwshc deðqnei ìti X 1 [ln(k + 1)] p = +

18 gia kˆje p 1. 'Ara ( 1 ln(k+1) ) / lp gia ìla ta p 1. (b) Upojètoume ìti x = (ξ k ) l p gia kˆpoio p 1. Tìte, X ξ k p < +. AfoÔ h seirˆ sugklðnei, paðrnoume ξ k p 0. 'Epetai ìti ξ k 0, ˆra ξ k 0. 14. Dokimˆste ξ k = 1 k. 'Eqoume P P 1 = + (h armonik seirˆ apoklðnei), ìmwc gia kˆje p > 1 h seirˆ k sugklðnei (Anˆlush II). 1 k p 15. Gia kˆje x (a, b) jewroôme th sunˆrthsh f x : [a, b] R pou orðzetai wc ex c: f x(t) = 1 an a t x kai f x(t) = 0 an x < t b. Kˆje f x eðnai fragmènh, ˆra an kei ston B[a, b]. To pl joc twn f x eðnai uperarijm simo (ìsa ta shmeða tou (a, b)). 'Estw x < y sto (a, b). Tìte, upˆrqei t 0 me x < t 0 < y. Autì mˆc dðnei f x(t 0) = 0 kai f y(t 0) = 1. 'Ara, d(f x, f y) = sup{ f x(t) f y(t) : t [a, b]} f x(t 0) f y(t 0) = 1. Sto metrikì q ro B[a, b] br kame uperarijm sima to pl joc shmeða (tic f x) pou anˆ dôo apèqoun apìstash toulˆqiston Ðsh me 1 (eðnai akrib c Ðsh me 1 - giatð?). Apì genik parat rhsh, o q roc den mporeð na eðnai diaqwrðsimoc. 16. DeÐqnoume pr ta to ex c: an p(t) = a 0 + a 1t + + a mt m, a i R, eðnai èna polu numo sto [a, b], tìte gia kˆje ε > 0 mporoôme na broôme polu numo q(t) = b 0 + b 1t + + b mt m me rhtoôc suntelestèc b i Q, tètoio ste d(p, q) = max p(t) q(t) < ε. t [a,b] Prˆgmati, an M = max{ a, b }, gia kˆje i = 0, 1,..., m mporoôme na broôme b i Q tètoion ste ε a i b i < M j (m + 1). Tìte, an orðsoume q(t) = b 0 + b 1t + + b mt m, gia kˆje t [a, b] èqoume Dhlad, d(p, q) < ε. p(t) q(t) = (a 0 b 0) + (a 1 b 1)t + + (a m b m)t m a 0 b 0 + a 1 b 1 t + + a m b m t m ε < m + 1 + ε M(m + 1) M + + ε M m (m + 1) M m = ε. OrÐzoume D = {q(t) = b 0 + b 1t + + b mt m : m N {0}, b i Q}. To D eðnai arijm simo sônolo. An f C[a, b] kai ε > 0, apì to je rhma tou Weierstrass upˆrqei polu numo p me pragmatikoôc suntelestèc, tètoio ste d(f, p) < ε/2. Apì thn prohgoômenh parat rhsh, upˆrqei q D gia to opoðo d(p, q) < ε/2. 'Ara, d(f, q) d(f, p) + d(p, q) < ε 2 + ε 2 = ε. AfoÔ h f kai to ε tan tuqìnta, blèpoume ìti D = C[a, b]. AfoÔ to D eðnai arijm simo, o C[a, b] eðnai diaqwrðsimoc. 17. Jètoume X = Y = R me th sun jh metrik d(x, y) = x y. OrÐzoume f : R R me f(x) = 0 gia kˆje x R. H f eðnai suneq c, allˆ den stèlnei ta mh kenˆ anoiktˆ uposônola tou R se anoiktˆ uposônola tou R: an = A R anoiktì, tìte f(a) = {0}, to opoðo den eðnai anoiktì. 18. (a) Jètoume A = `R f p 1/p `R kai B = g q 1/q. An A = 0 B = 0, tìte apì th sunèqeia twn f, g blèpoume ìti f 0 g 0 sto [a, b], opìte h anisìthta gðnetai 0 0. An A > 0 kai B > 0, qrhsimopoi ntac thn anisìthta tou Young grˆfoume Z b a f(t) g(t) A B dt Z b f(t) A 1 p R b a f p a Z b a g(t) B dt f(t) p A p + 1 q R b a g q «g(t) q dt B q = 1 p A p + 1 q B q = 1 p + 1 q = 1.

19 'Ara, Z b a Z b «1/p Z b «1/q fg AB = f p g q. a a (b) An p = 1, h anisìthta tou Minkowski eðnai apl : Z Z Z f + g ( f + g ) = Z f + g. An p > 1, qrhsimopoi ntac thn anisìthta tou Hölder grˆfoume Z Z Z f + g p = f + g p 1 f + g f + g p 1 ( f + g ) Z Z = f + g p 1 f + f + g p 1 g + = Z Z Z f + g (p 1)q «1/q Z f + g (p 1)q «1/q Z f + g p «1/q Z f p «1/p g p «1/p «1/p Z f p + g p «1/p!, giatð (p 1)q = p. An to aristerì mèloc eðnai gn sia jetikì, diair ntac me `R f + g p 1/q kai qrhsimopoi ntac thn 1 1 = 1 q p, paðrnoume Z «1/p Z f + g p = f + g p «1 1 q Z «1/p Z f p + g p «1/p. An R f + g p = 0, tìte den èqoume tðpota na deðxoume. 19. ParathroÔme ìti oi α = r q r p r q kai β = p q tou Hölder gia tic f q/α kai f r/β, paðrnoume Z f p = = Z eðnai suzugeðc ekjètec kai p = q + r. Efarmìzontac thn anisìthta α β f q/α f r/β Z «1/α Z «1/β ( f q/α ) α ( f r/β ) β Z f q «r p r q Z f r «p q r q.

20

Kefˆlaio 2 Pl reic metrikoð q roi 2.1 AkoloujÐec Cauchy - pl reic metrikoð q roi Ορισμός Εστω (X, d) ένας μετρικός χώρος. Μια ακολουθία (x n ) στον X λέγεται ακολουθία Cauchy αν για κάθε ε > 0 υπάρχει n 0 = n 0 (ε) N τέτοιος ώστε n, m n 0 = d(x n, x m ) < ε. Ενα από τα πιο βασικά αποτελέσματα στην «Ανάλυση Ι» είναι το εξής: μια ακολουθία (x n ) πραγματικών αριθμών συγκλίνει αν και μόνο αν είναι ακολουθία Cauchy. Το παραπάνω δεν ισχύει σε κάθε μετρικό χώρο (X, d). Παράδειγμα: πάρτε X = (0, 1] με απόσταση την d(x, y) = x y. Η ακολουθία x n = 1 n είναι Cauchy αλλά δεν συγκλίνει σε σημείο του X (το σημείο 0, στο οποίο η (x n ) «θέλει» να συγκλίνει, δεν ανήκει στον X.) Δοκιμάστε να δώσετε αυστηρή απόδειξη του ότι δεν υπάρχει x X τέτοιο ώστε x n x. Υπάρχουν πάντως αρκετές ομοιότητες ανάμεσα στη θεωρία των ακολουθιών Cauchy τυχόντος μετρικού χώρου (X, d) και την αντίστοιχη θεωρία στο R. Πρόταση 2.1.1. Αν η (x n ) συγκλίνει στο x, τότε η (x n ) είναι ακολουθία Cauchy. Απόδειξη: Εστω ε > 0. Αφού x n x, υπάρχει n 0 = n 0 (ε) N τέτοιος ώστε Αν λοιπόν n, m n 0, τότε n n 0 = d(x, x n ) < ε 2. d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x, x m ) < ε 2 + ε 2 = ε. Λέμε ότι ένα σύνολο A X είναι φραγμένο αν υπάρχουν x 0 X και r > 0 τέτοια ώστε A B(x 0, r). Μια ακολουθία (x n ) είναι φραγμένη αν υπάρχουν x 0 X, r > 0 τέτοια ώστε n N, x n B(x 0, r). Πρόταση 2.1.2. Κάθε ακολουθία Cauchy (x n ) είναι φραγμένη. Απόδειξη: Παίρνουμε ε = 1. Υπάρχει n 0 N τέτοιος ώστε: αν n, m n 0, τότε d(x n, x m ) < 1. Ειδικότερα, n n 0 = d(x n, x n0 ) < 1. Παίρνουμε r = max{d(x 1, x n0 ) + 1,..., d(x n0 1, x n0 ) + 1}. Ελέγξτε ότι d(x n, x n0 ) r για κάθε n N, δηλαδή όλοι οι όροι της (x n ) βρίσκονται στην B(x n0, r). 21

22 Πρόταση 2.1.3. Εστω (x n ) ακολουθία Cauchy. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν x X και υπακολουθία (x kn ) της (x n ) με x kn x. Τότε, x n x (αν λοιπόν μια ακολουθία Cauchy έχει συγκλίνουσα υπακολουθία, τότε συγκλίνει.) Απόδειξη: Εστω ε > 0. Η (x kn ) συγκλίνει στο x, άρα υπάρχει n 0 N τέτοιος ώστε n n 0 = d(x, x kn ) < ε 2. Αφού η (x n ) είναι Cauchy, υπάρχει n 1 N τέτοιος ώστε n, m n 1 = d(x n, x m ) < ε 2. Θέτουμε n 2 = max{n 0, n 1 }. Αν n n 2, τότε k n n n 2 n 1, άρα d(x n, x kn ) < ε 2, και k n n n 2 n 0, άρα Προσθέτοντας, βλέπουμε ότι αν n n 2, d(x, x kn ) < ε 2. d(x, x n ) d(x, x kn ) + d(x kn, x n ) < ε 2 + ε 2 = ε. Δηλαδή, x n x. Ορισμός Εστω (X, d) μετρικός χώρος. συγκλίνει (σε σημείο του X). Ο X λέγεται πλήρης αν κάθε ακολουθία Cauchy (x n ) στον X Με βάση αυτόν τον ορισμό, ο X = (0, 1], με μετρική την d(x, y) = x y, δεν είναι πλήρης. Οι συμπαγείς μετρικοί χώροι μάς δίνουν μια πρώτη ευρεία κλάση πλήρων μετρικών χώρων (θυμηθείτε ότι, ο X είναι συμπαγής (x n ) στον X, υπάρχουν x X και υπακολουθία (x kn ) της (x n ) με x kn x): Πρόταση 2.1.4. Κάθε συμπαγής μετρικός χώρος (X, d) είναι πλήρης. Απόδειξη: Εστω (x n ) ακολουθία Cauchy στον X. Αφού ο X είναι συμπαγής, υπάρχει υπακολουθία (x kn ) της (x n ) με x kn x X. Από την Πρόταση 2.1.3, x n x. Αργότερα, θα χρειαστούμε ένα κριτήριο για το πότε ένας υπόχωρος ενός πλήρους μετρικού χώρου είναι πλήρης: Πρόταση 2.1.5. Εστω (X, d) μετρικός χώρος, και έστω Y ένας υπόχωρος του X. (α) Αν ο Y είναι πλήρης ως προς την επαγόμενη μετρική, τότε ο Y είναι κλειστό υποσύνολο του X. (β) Αν ο (X, d) είναι πλήρης και ο Y είναι κλειστό υποσύνολο του X, τότε ο Y είναι πλήρης ως προς την επαγόμενη μετρική. Ειδικότερα, αν ο X είναι πλήρης, τότε ο είναι Y πλήρης μετρικός χώρος αν και μόνο αν ο Y είναι κλειστό υποσύνολο του X. Απόδειξη: (α) Εστω x n Y και x n x X. Η (x n ) συγκλίνει στον X, άρα είναι ακολουθία Cauchy στον X (Πρόταση 2.1.1). Η απόσταση d στον Y είναι απλώς ο περιορισμός της d, άρα η (x n ) είναι Cauchy στον Y. Ο Y είναι πλήρης ως προς την d, άρα η (x n ) συγκλίνει σε σημείο του Y. Η σύγκλιση αυτή είναι ταυτόχρονα σύγκλιση ως προς την d στον X, και από μοναδικότητα του ορίου, το όριο πρέπει να είναι το x. Δηλαδή, x Y. Αυτό αποδεικνύει ότι το Y είναι κλειστό υποσύνολο του X. (β) Εστω (x n ) ακολουθία Cauchy στον Y. Αφού x n Y X, η (x n ) είναι ακολουθία Cauchy στον X. Ο X είναι πλήρης, άρα υπάρχει x X τέτοιο ώστε x n x. Επομένως, x Y. Ομως το Y είναι κλειστό, άρα x Y. Δηλαδή, x n x στον Y.

23 2.2 Pl reic metrikoð q roi - paradeðgmata Μια γενική παρατήρηση για τον τρόπο με τον οποίο δείχνουμε ότι ένας μετρικός χώρος είναι πλήρης: θεωρούμε τυχούσα ακολουθία (x n ) που είναι Cauchy στον (X, d), και (α) εντοπίζουμε το σημείο x στο οποίο θα πρέπει να συγκλίνει η (x n ) (στα κλασικά παραδείγματα, πολύ συχνά μάς βοηθάει η πληρότητα της πραγματικής ευθείας). (β) δείχνουμε ότι x X. (γ) δείχνουμε ότι x n x ως προς τη μετρική d. Πρόταση 2.2.1. Ο Ευκλείδειος χώρος R m με μετρική την είναι πλήρης. ( m ) 1/2 d(x, y) = (ξ k η k ) 2 Απόδειξη: Εστω (x n ) ακολουθία Cauchy στον R m. Γράφουμε x n = (ξ n1,..., ξ nm ), ξ nk R. Εστω ε > 0. Η (x n ) είναι Cauchy, επομένως υπάρχει n 0 (ε) N με την ιδιότητα Στην περίπτωσή μας αυτό σημαίνει ότι n, s n 0 = d(x n, x s ) < ε. ( m ( ) n, s n 0 = (ξ nk ξ sk ) 2 ) 1/2 < ε. Η βασική παρατήρηση είναι ότι k = 1,..., m, ξ nk ξ sk ( m ) 1/2 (ξ nk ξ sk ) 2 < ε. Επομένως, αν n, s m 0, τότε για κάθε k = 1,..., m χωριστά έχουμε ξ nk ξ sk < ε. Αυτό σημαίνει ότι: για κάθε k = 1,..., m η ακολουθία (ξ nk ) είναι Cauchy στο R. Από την πληρότητα του R έπεται ότι υπάρχουν ξ 1,..., ξ m R τέτοιοι ώστε ξ n1 ξ 1,..., ξ nm ξ m καθώς n. Ορίζουμε x = (ξ 1,..., ξ m ) R m, και μένει να δείξουμε ότι d(x n, x) 0 καθώς n. Επιστρέφουμε στην ( ): για κάθε n, s n 0 έχουμε ( m ) 1/2 (ξ nk ξ sk ) 2 < ε. Σταθεροποιούμε το n και αφήνουμε το s να πάει στο άπειρο: ( m ) 1/2 ( m ) 1/2 (ξ nk ξ sk ) 2 (ξ nk ξ k ) 2. Άρα, για κάθε n n 0 έχουμε ( m ) 1/2 d(x n, x) = (ξ nk ξ k ) 2 ε. Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, βλέπουμε ότι d(x n, x) 0. Δηλαδή, x n x.

24 Πρόταση 2.2.2. Ο χώρος l των φραγμένων ακολουθιών, με μετρική την είναι πλήρης. d(x, y) = sup{ ξ k η k : k N} Απόδειξη: Εστω (x n ) ακολουθία Cauchy στον l. Γράφουμε x n = (ξ nk ) = (ξ n1,..., ξ nk,...). Εστω ε > 0. Η (x n ) είναι Cauchy, άρα υπάρχει n 0 (ε) N με την ιδιότητα ( ) n, s n 0, sup{ ξ nk ξ sk : k N} < ε. Επομένως, αν n, s n 0 έχουμε για κάθε k N χωριστά ( ) ξ nk ξ sk < ε. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε k N η ακολουθία (ξ nk ) είναι Cauchy (ως προς n) στο R. Άρα, υπάρχουν ξ k R τέτοιοι ώστε ξ n1 ξ 1,..., ξ nk ξ k,... (n ). Ορίζουμε x = (ξ 1,..., ξ k,...). Πρέπει πρώτα να δείξουμε ότι x l. Επιστρέφοντας στην ( ) και σταθεροποιώντας s = n 0, έχουμε και, για κάθε k N, n n 0 k N, ξ nk ξ n0k < ε ξ nk ξ n0k ξ k ξ n0k καθώς n. Άρα, ξ k ξ n0k ε για κάθε k N, δηλαδή k N, ξ k ξ n0k + ε. Ομως x n0 l. Άρα, υπάρχει M > 0 τέτοιος ώστε ξ n0k M για κάθε k N. Επεται ότι sup k ξ k M +ε, δηλαδή x l. Επίσης, από την ( ), αφήνοντας το s έχουμε: n n 0 k N, ξ nk ξ k ε, δηλαδή, για κάθε n n 0, Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, x n x ως προς την d. d(x n, x) = sup{ ξ nk ξ k : k N} ε. Ορισμός. Ο χώρος c αποτελείται από όλες τις συγκλίνουσες ακολουθίες πραγματικών αριθμών. Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη, επομένως ο c είναι υποσύνολο του l. Τον βλέπουμε σαν υπόχωρο του l, με μετρική την d(x, y) = sup{ ξ k η k : k N}. Θεωρούμε επίσης το χώρο c 0 των μηδενικών ακολουθιών (x = (ξ k ) c 0 αν και μόνο αν ξ k 0 όταν k ) σαν υπόχωρο του c. Πρόταση 2.2.3. Οι c και c 0 είναι πλήρεις μετρικοί χώροι. Απόδειξη: Ο c είναι εξ ορισμού υπόχωρος του l. Σύμφωνα με την Πρόταση 2.1.5, για να δείξουμε ότι είναι πλήρης αρκεί να δείξουμε ότι είναι κλειστό υποσύνολο του l. Εστω x = (ξ k ) c. Δηλαδή, υπάρχουν x n = (ξ nk ) c με x n x. Πρέπει να δείξουμε ότι x c, δηλαδή ότι η (ξ k ) συγκλίνει στο R. Αρκεί να δείξουμε ότι η (ξ k ) είναι Cauchy στο R. Εστω ε > 0. Αφού x n x, υπάρχει n 0 N τέτοιος ώστε d(x, x n ) < ε για κάθε n n 0. Δηλαδή, (1) n n 0 k N, ξ k ξ nk < ε.

25 Κρατάμε ένα μόνο n: τον n 0. Η x n0 υπάρχει k 0 N τέτοιος ώστε = (ξ n0k) ανήκει στον c, δηλαδή συγκλίνει, δηλαδή είναι Cauchy. Άρα, (2) s, r k 0, ξ n0s ξ n0r < ε. Τότε, χρησιμοποιώντας τις (1) και (2) βλέπουμε ότι, για κάθε s, r k 0, ξ s ξ r ξ s ξ n0s + ξ n0s ξ n0r + ξ n0r ξ r < ε + ε + ε = 3ε. Άρα, η (ξ k ) είναι Cauchy, δηλαδή x c. Αφού c c, ο c είναι κλειστό υποσύνολο του l. Για το δεύτερο ισχυρισμό, έστω x = (ξ k ) c 0. Δηλαδή, υπάρχουν x n = (ξ nk ) c 0 με x n x. Πρέπει να δείξουμε ότι x c 0, δηλαδή ότι ξ k 0 όταν k. Εστω ε > 0. Αφού x n x, υπάρχει n 0 N τέτοιος ώστε d(x, x n ) < ε για κάθε n n 0. Δηλαδή, (3) n n 0 k N, ξ k ξ nk < ε. Η x n0 = (ξ n0k) ανήκει στον c 0, άρα, υπάρχει k 0 N τέτοιος ώστε (4) k k 0, ξ n0k < ε. Τότε, χρησιμοποιώντας τις (3) και (4) βλέπουμε ότι, για κάθε k k 0, ξ k ξ k ξ n0k + ξ n0k < ε + ε = 2ε. Άρα, ξ k 0 όταν k, δηλαδή x c 0. Πρόταση 2.2.4. Ο χώρος l p, 1 p < +, είναι πλήρης. Απόδειξη: Θα μιμηθούμε την απόδειξη της Πρότασης 2.2.1. Εστω (x n ) ακολουθία Cauchy στον l p. Γράφουμε x n = (ξ nk ) = (ξ n1,..., ξ nk,...), ξ nk R. Εστω ε > 0. Η (x n ) είναι Cauchy, επομένως υπάρχει n 0 (ε) N με την ιδιότητα ( ) 1/p ( ) n, s n 0 = ξ nk ξ sk p < ε. Άρα, για κάθε n, s n 0 και κάθε k N έχουμε ( ) 1/p ξ nk ξ sk ξ nk ξ sk p < ε. Δηλαδή, για κάθε k N η ακολουθία (ξ nk ) είναι Cauchy (ως προς n) στο R. Από την πληρότητα του R, υπάρχουν ξ 1,..., ξ k,... R τέτοιοι ώστε ξ n1 ξ 1,..., ξ nk ξ k,... καθώς n. Ορίζουμε x = (ξ 1,..., ξ k,...). Πρέπει πρώτα να δείξουμε ότι x l p. Κρατάμε N N σταθερό, και από την ( ) έχουμε και ( N ) 1/p n, s m 0, ξ nk ξ sk p < ε, ( N ) 1/p ( N ) 1/p ξ nk ξ sk p ξ nk ξ k p

26 καθώς s, οπότε n n 0, και αφήνοντας το N παίρνουμε ( ) n n 0, ( N ) 1/p ξ nk ξ k p ε, ( ) 1/p ξ nk ξ k p ε. Δηλαδή, π.χ. για n = n 0, η (ξ nk ξ k ) l p, και αφού (ξ nk ) l p, από την ανισότητα του Minkowski βλέπουμε ότι x = (ξ k ) = ((ξ k ξ nk ) + ξ nk ) l p. Επιπλέον, η ( ) είναι ισοδύναμη με την n n 0, d(x, x n ) ε, απ όπου συμπεραίνουμε ότι x n x. Κλείνουμε αυτή την παράγραφο με μερικά σημαντικά παραδείγματα μετρικών χώρων που δεν είναι πλήρεις: (α) Θεωρούμε το σύνολο Q των ρητών αριθμών, με μετρική την d(x, y) = x y. Ο (Q, d) δεν είναι πλήρης: είναι υπόχωρος της πραγματικής ευθείας, κι αν ήταν πλήρης θα έπρεπε να είναι κλειστό υποσύνολο του R. Ομως, Q = R. (β) Θεωρούμε το χώρο C[a, b] των συνεχών συναρτήσεων f : [a, b] R, με μετρική την d(f, g) = max f(t) g(t). t [a,b] Ο (C[a, b], d) είναι πλήρης μετρικός χώρος (άσκηση). Θεωρούμε τον υπόχωρο X του C[a, b] που αποτελείται από τα πολυώνυμα p : [a, b] R. Από το Θεώρημα του Weierstrass, για κάθε f C[a, b] και κάθε ε > 0, μπορούμε να βρούμε πολυώνυμο p X τέτοιο ώστε d(f, p) = max f(t) p(t) < ε. t [a,b] Δηλαδή, X = C[a, b] X (υπάρχουν συνεχείς f που δεν είναι πολυώνυμα). Άρα, ο X δεν είναι κλειστό υποσύνολο του C[a, b], και από την Πρόταση 2.1.5 συμπεραίνουμε ότι ο X δεν είναι πλήρης. Τα παραδείγματα (α) και (β) είναι κατά κάποιον τρόπο «τεχνητά»: ξεκινήσαμε με έναν πλήρη χώρο (την πραγματική ευθεία ή το χώρο των συνεχών συναρτήσεων στο [a, b]), και πήραμε ένα γνήσιο πυκνό υποσύνολό του (τους ρητούς ή τα πολυώνυμα) σαν υπόχωρό του, με την επαγόμενη δηλαδή μετρική. Αφού ο υπόχωρός μας δεν είναι κλειστός, δεν μπορεί να είναι πλήρης μετρικός χώρος. Ας δούμε κι ένα πιο ουσιαστικό παράδειγμα: (γ) Θεωρούμε το χώρο X των συνεχών συναρτήσεων f : [0, 1] R, τώρα όμως με μια άλλη μετρική: d(f, g) = 1 0 f(t) g(t) dt. Εύκολα ελέγχουμε ότι η d ικανοποιεί τα αξιώματα (M1) (M4). Ο (X, d) δεν είναι πλήρης: Ορίζουμε μια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων (f n ), n 3, στον X ως εξής: 0, 0 t 1 2, f n (t) = n ( ) t 1 2, 1 2 < t < a n = 1 2 + 1 n, 1, a n t 1.

27 1 0 1/2 a n 1 Sq ma 2.1: Ta graf mata twn sunart sewn f n (1) Η (f n ) είναι ακολουθία Cauchy ως προς την d: έστω n > m. Τότε, και (βλέπε Σχήμα 2.1), a m = 1 2 + 1 m > 1 2 + 1 n = a n, d(f n, f m ) = = 1/2 0 am 1/2 am 1 f n f m + 1/2 f n f m + f n f m a m f n f m a m 1 2 = 1 m. Εστω τώρα ε > 0. Υπάρχει n 0 N με 1 n 0 < ε, και αν n, m n 0, τότε d(f n, f m ) 1 m 1 n 0 < ε, δηλαδή, η (f n ) είναι Cauchy. (2) Ας υποθέσουμε ότι f n f (ως προς την d) για κάποια συνεχή f : [0, 1] R. Δηλαδή, καθώς n. Ειδικότερα, 1 0 f n (t) f(t) dt 0 0 1/2 0 f(t) dt = 1/2 0 f n (t) f(t) dt και αφού η f είναι συνεχής στο [0, 1], πρέπει να ισχύει f(t) = 0, t [0, 1/2]. 1 0 f n (t) f(t) dt 0, Εστω τώρα δ (1/2, 1). Υπάρχει n 0 N τέτοιο ώστε 1 2 + 1 n < δ για κάθε n n 0. Τότε, για κάθε n n 0 έχουμε f n (t) = 1, t [δ, 1]. Ομως, 0 1 f n (t) f(t) dt 1 δ 0 f n (t) f(t) dt 0,

28 άρα 1 δ 1 f(t) dt = 0 (γιατί;). Από τη συνέχεια της f, συμπεραίνουμε ότι f(t) = 1 για κάθε t [δ, 1], και αφού το δ ήταν τυχόν στο (1/2, 1), έπεται ότι f(t) = 1 για κάθε t (1/2, 1]. Επεται ότι η f είναι ασυνεχής στο σημείο t 0 = 1/2, το οποίο είναι άτοπο αφού η f υποτέθηκε συνεχής στο [0, 1]. Βρήκαμε ακολουθία Cauchy (f n ) στον X, η οποία δεν συγκλίνει (ως προς την d) σε στοιχείο του X. Άρα, ο (X, d) δεν είναι πλήρης. 2.3 Pl rwsh metrikoô q rou* Το σύνολο Q των ρητών αριθμών με τη συνήθη μετρική d(x, y) = x y δεν είναι πλήρης μετρικός χώρος. «Προσθέτοντάς» του όμως κάποια σημεία, παίρνουμε την πλήρη πραγματική ευθεία R. Το R είναι η «πλήρωση» του Q. Το R\Q αποτελείται ακριβώς από τα όρια εκείνων των ακολουθιών Cauchy στο Q που δεν συγκλίνουν στο R (τα όρια που «λείπουν»). Θα δούμε (εν συντομία) με ποιόν τρόπο κάθε μετρικός χώρος X μπορεί να «γίνει» πυκνός μέσα σε έναν πλήρη μετρικό χώρο ˆX (ο οποίος είναι με μια έννοια μοναδικός και λέγεται πλήρωση του X). Η διαδικασία της πλήρωσης βασίζεται ακριβώς στο μοντέλο «Q R». Ορισμός Εστω (X, d) και (Y, ρ) δύο μετρικοί χώροι. Μια απεικόνιση T : (X, d) (Y, ρ) λέγεται ισομετρία αν διατηρεί τις αποστάσεις. Δηλαδή, αν για κάθε x 1, x 2 X ισχύει ρ(t (x 1 ), T (x 2 )) = d(x 1, x 2 ). Παρατηρήστε ότι μια ισομετρία είναι πάντα ένα προς ένα: αν T (x 1 ) = T (x 2 ), τότε 0 = ρ(t (x 1 ), T (x 2 )) = d(x 1, x 2 ) = x 1 = x 2. Δύο μετρικοί χώροι X και Y λέγονται ισομετρικοί αν υπάρχει T : X Y ισομετρία επί. Δύο ισομετρικοί χώροι ουσιαστικά ταυτίζονται, αφού τα σημεία τους βρίσκονται σε αντιστοιχία ένα προς ένα και οι αποστάσεις διατηρούνται. Θεώρημα 2.3.1. Εστω (X, d) μετρικός χώρος. Υπάρχει πλήρης μετρικός χώρος ( ˆX, ˆd) ο οποίος έχει πυκνό υπόχωρο W που είναι ισομετρικός με τον (X, d). Ιδέα της απόδειξης: Φανταστείτε τον X σαν μη πλήρη χώρο, όπως στο Σχήμα 2.2 (και έχετε στο μυαλό σας το Q). Υπάρχουν ακολουθίες Cauchy στον X που δεν έχουν όριο στον X (π.χ. η (x n ) που καταλήγει στο κενό: δε «βρίσκει» το όριό της μέσα στο χώρο). Άλλες, όπως η (y n ), συγκλίνουν σε κάποιο y X. (1) Ορίζουμε μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο των ακολουθιών Cauchy του X: (x n ) (x n) d(x n, x n) 0. Ακολουθίες, όπως η (y n ), που συγκλίνουν σε y X είναι ισοδύναμες με σταθερές ακολουθίες: y n y X (y n ) (y, y,...). Θεωρούμε το σύνολο ˆX των κλάσεων ισοδυναμίας της (πρέπει βέβαια πρώτα να δείξετε ότι η είναι σχέση ισοδυναμίας). (2) Ο X μπορεί να θεωρηθεί σαν υποσύνολο του ˆX: αν y X, στο y αντιστοιχεί φυσιολογικά η σταθερή ακολουθία Cauchy (y, y,...), καθώς και η κλάση της, που είναι στοιχείο του ˆX. Αν y y στον X, τότε δεν μπορεί να ισχύει (y, y,...) (y, y,...) (γιατί;) Άρα, διαφορετικά σημεία του X ορίζουν διαφορετικές κλάσεις στον ˆX.

29 x n x n X y y n Sq ma 2.2: Apìdeixh tou Jewr matoc 2.3.1 (3) Συμβολίζουμε τα στοιχεία του ˆX με ˆx, ŷ,.... (4) Πως ορίζουμε μετρική ˆd στον ˆX; Εστω ˆx, ŷ ˆX. Θεωρούμε τυχόντες αντιπροσώπους (x n ) ˆX, (y n ) Ŷ, και θέτουμε ˆd(ˆx, ŷ) = lim n d(x n, y n ). Πρέπει πρώτα να δείξουμε ότι αυτό το όριο υπάρχει. Θυμηθείτε ότι οι (x n ), (y n ) είναι ακολουθίες Cauchy: από την τριγωνική ανισότητα, d(x n, y n ) d(x m, y m ) d(x n, x m ) + d(y n, y m ) 0 καθώς n, m. Άρα, η (d(x n, y n )) είναι Cauchy στο R, και έχει όριο. x n X y n Sq ma 2.3: Qr sh thc trigwnik c anisìthtac sthn apìdeixh Πρέπει ακόμα να δείξουμε ότι η επιλογή των αντιπροσώπων (x n ) ˆx και (y n ) ŷ δεν έχει σημασία, και ότι η ˆd ικανοποιεί τα αξιώματα της μετρικής (Άσκηση). Ετσι, ορίστηκε ο ( ˆX, ˆd). (5) Ορίζουμε W = {ˆb : b X}, όπου ˆb, b X, είναι η κλάση της σταθερής ακολουθίας (b, b,...). Παρατηρήστε ότι ˆd( ˆb 1, ˆb 2 ) = lim n d(b 1, b 2 ) = d(b 1, b 2 ) αν b 1, b 2 X. Δηλαδή, η T : (X, d) (W, ˆd) με b ˆb είναι ισομετρία επί. (6) Τέλος, δείχνουμε ότι ο ( ˆX, ˆd) είναι πλήρης, και ότι W = ˆX (Άσκηση). (7) Αν ( X, d) είναι ένας άλλος πλήρης μετρικός χώρος που έχει πυκνό υπόχωρο ισομετρικό με τον (X, d), τότε αποδεικνύεται ότι οι ( ˆX, ˆd) και ( X, d) είναι ισομετρικοί. Δηλαδή, η πλήρωση του (X, d) γίνεται «κατά μοναδικό τρόπο».

30 Δεν θα χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα που περιγράψαμε. Για μια λεπτομερή απόδειξη, δείτε π.χ. το βιβλίο του E. Kreyszig. 2.4 To Je rhma tou Baire Σκοπός μας είναι να αποδείξουμε το θεώρημα του Baire στην ακόλουθη μορφή: Θεώρημα 2.4.1. Εστω (X, d) πλήρης μετρικός χώρος. Αν (F n ) είναι μια ακολουθία κλειστών υποσυνόλων του X τέτοια ώστε X = n=1 F n, τότε τουλάχιστον ένα από τα F n έχει μη κενό εσωτερικό. Ορισμός. Εστω (X, d) μετρικός χώρος, και έστω A X. Η διάμετρος του A ορίζεται από την diam(a) := sup{d(x, y) x, y A}. Παρατηρησεις. (i) 0 diam(a) +. (ii) diam(a) < + το A είναι φραγμένο. (iii) diam(a) = diam(a). Για την απόδειξη του Θεωρήματος του Baire θα χρειαστούμε τον εξής χαρακτηρισμό του πλήρους μετρικού χώρου (Cantor): Θεώρημα 2.4.2. Εστω (X, d) μετρικός χώρος. Ο X είναι πλήρης αν και μόνο αν για κάθε φθίνουσα ακολουθία F 1 F 2... F n... κλειστών μη κενών υποσυνόλων του X με diam(f n ) 0, υπάρχει x X τέτοιο ώστε n=1 F n = {x}. Απόδειξη: ( ) Αρκεί να δείξουμε ότι n=1 F n. Γιατί, αν x, y n=1 F n τότε 0 d(x, y) diam(f n ) 0, δηλαδή d(x, y) = 0, άρα x = y. Αν λοιπόν το n=1 F n είναι μη κενό, τότε θα είναι μονοσύνολο. Για να δείξουμε ότι το n=1 F n είναι μη κενό, δουλεύουμε ως εξής: αφού κάθε F n, μπορούμε να επιλέξουμε x n F n, n N. Ισχυρισμός. Η (x n ) είναι ακολουθία Cauchy στον X. Απόδειξη: Εστω ε > 0. Αφού diam(f n ) 0, υπάρχει n 0 N τέτοιος ώστε: για κάθε n n 0, diam(f n ) < ε. Αν n > m n 0, τότε x n, x m F m (η (F n ) είναι φθίνουσα), άρα d(x n, x m ) diam(f m ) < ε. Ο X είναι πλήρης και η (x n ) είναι ακολουθία Cauchy, άρα υπάρχει x X με x n x. Θα δείξουμε ότι x n=1 F n: Εστω m N. Εχουμε x m, x m+1, x m+2,... F m και x n x, άρα x F m = F m. Αφού το m ήταν τυχόν, x m=1 F m. ( ) Εστω (x n ) ακολουθία Cauchy στον X. Ορίζουμε: F n = {x n, x n+1,...} = {x m : m n}, και F n = F n. Αφού η (F n) είναι φθίνουσα ακολουθία μη κενών συνόλων, η (F n ) είναι φθίνουσα ακολουθία κλειστών μη κενών συνόλων.

31 Ισχυρισμός. diam(f n ) 0. Απόδειξη: Εστω ε > 0. Η (x n ) είναι ακολουθία Cauchy, άρα υπάρχει n 0 N τέτοιος ώστε: για κάθε n, m n 0, d(x n, x m ) < ε. Αν λοιπόν n n 0, τότε για κάθε x, y F n ισχύει d(x, y) < ε (γιατί;) επομένως diam(f n ) = diam(f n) ε. Από τον ισχυρισμό και την υπόθεσή μας, έπεται ότι n=1 F n = {x} για κάποιο x X. Τότε, 0 d(x n, x) diam(f n ) 0, δηλαδή x n x. Άρα, ο X είναι πλήρης. Παρατήρηση. Η υπόθεση diam(f n ) 0 δεν είναι περιττή. Πάρτε F n = [n, + ), n N. Κάθε F n είναι κλειστό υποσύνολο του R, και F 1 F 2... F n..., όμως n=1 F n = (γιατί;). Πριν δώσουμε την απόδειξη του Θεωρήματος του Baire ας δούμε μια κάπως απλούστερη πρόταση: Πρόταση 2.4.1. Εστω (X, d) μετρικός χώρος, και G 1, G 2 ανοιχτά πυκνά υποσύνολα του X. Τότε, το G 1 G 2 είναι (ανοιχτό) πυκνό υποσύνολο του X. x 0 x 1 X r 0 Sq ma 2.4: Απόδειξη: Εστω D(x 0, r 0 ) ανοιχτή μπάλα στον X. Θέλουμε να δείξουμε ότι D(x 0, r 0 ) G 1 G 2. Το G 1 είναι πυκνό στον X, άρα υπάρχει x 1 D(x 0, r 0 ) G 1. Το D(x 0, r 0 ) G 1 είναι ανοιχτό, άρα το x 1 είναι εσωτερικό του σημείο. Επομένως, υπάρχει r 1 > 0 τέτοιος ώστε Ομως το G 2 είναι πυκνό, άρα υπάρχει D(x 1, r 1 ) D(x 0, r 0 ) G 1. x 2 D(x 1, r 1 ) G 2 D(x 0, r 0 ) G 1 G 2. Δηλαδή, D(x 0, r 0 ) G 1 G 2. Είναι φανερό ότι, επαγωγικά, μπορούμε να δείξουμε ότι αν G 1,..., G m είναι ανοιχτά πυκνά υποσύνολα του μετρικού χώρου (X, d), τότε το ίδιο ισχύει και για την τομή τους. Αν ο (X, d) είναι πλήρης, μπορούμε να δείξουμε κάτι παραπάνω (Baire): Θεώρημα 2.4.3. Εστω (X, d) πλήρης μετρικός χώρος. Αν (G n ) είναι μια ακολουθία ανοιχτών πυκνών υποσυνόλων του X, τότε το n=1 G n είναι πυκνό υποσύνολο του X.

32 Απόδειξη: Εστω D(x 0, r 0 ) ανοιχτή μπάλα στον X. Θέλουμε να δείξουμε ότι ( ) D(x 0, r 0 ) G n. Αφού το G 1 είναι πυκνό, υπάρχει x 1 D(x 0, r 0 ) G 1, κι αφού το D(x 0, r 0 ) G 1 είναι ανοιχτό, υπάρχει r 1 > 0 (μπορούμε μάλιστα να υποθέσουμε ότι r 1 1, μικραίνοντάς το αν χρειαστεί) ώστε n=1 D(x 1, r 1 ) D(x 0, r 0 ) G 1. (Πάρτε πρώτα κατάλληλη ανοιχτή μπάλα με κέντρο το x 1, και μετά, κλειστή με μικρότερη ακτίνα). Το G 2 είναι πυκνό, άρα υπάρχει x 2 D(x 1, r 1 ) G 2, και το D(x 1, r 1 ) G 2 είναι ανοιχτό, επομένως μπορούμε να βρούμε 0 < r 2 1/2 τέτοιο ώστε D(x 2, r 2 ) D(x 1, r 1 ) G 2. Επαγωγικά, βρίσκουμε x n X και 0 < r n 1/n, τέτοια ώστε Από την κατασκευή, D(x n, r n ) D(x n 1, r n 1 ) G n, n N. D(x 1, r 1 ) D(x 2, r 2 )... D(x n, r n )... και diam(d(x n, r n )) 2r n 0. Ο X είναι πλήρης, οπότε το Θεώρημα του Cantor μας εξασφαλίζει ότι για κάποιο x X. Τότε, D(x n, r n ) = {x} n=1 (i) x D(x n, r n ) D(x n 1, r n 1 ) G n G n για κάθε n N, δηλαδή x n=1 G n. (ii) x D(x 1, r 1 ) D(x 0, r 0 ) G 1 D(x 0, r 0 ). Δηλαδή, ( ) D(x 0, r 0 ) G n. n=1 Το Θεώρημα 2.4.1 είναι συνέπεια του Θεωρήματος 2.4.3: Απόδειξη του Θεωρήματος 2.4.1: Εστω (X, d) πλήρης μετρικός χώρος, και (F n ) ακολουθία κλειστών υποσυνόλων του X, τέτοια ώστε X = n=1 F n. Υποθέτουμε ότι F n = για κάθε n N. Ορίζουμε G n = X\F n. Κάθε G n είναι ανοιχτό, και G n = X\F n = X\F n = X\ = X, δηλαδή κάθε G n είναι ανοιχτό και πυκνό στον X. Από το Θεώρημα 2.4.3, G n = X\ F n. n=1 n=1 Αυτό αντιφάσκει προς την υπόθεση. Άρα, τουλάχιστον ένα από τα F n έχει μη κενό εσωτερικό. Το Θεώρημα του Baire θα παίξει πολύ σημαντικό ρόλο στη μελέτη των χώρων Banach. δίνουμε τρείς εφαρμογές από τις οποίες γίνεται φανερή η ισχύς του: Για την ώρα, (1) Το θεώρημα του Osgood (1897) Εστω f n : [0, 1] R, n N, συνεχείς συναρτήσεις. Υποθέτουμε ότι για κάθε t [0, 1] η ακολουθία (f n (t)) είναι φραγμένη. Τότε, υπάρχουν [a, b] [0, 1] και M > 0 τέτοια ώστε t [a, b] n N, f n (t) M.